RSS

දර්ශක සහ ලෂුගනක | Indices and logarithms | සිංහල මාධ්‍යය

දර්ශක

දර්ශකයක් එහෙම නැත්තම් Index එකක් කියලා සරලව හදුන්වන්නෙ මොකද්ද කියලා අපි බලමු.
පල්ලෙහා තියෙන්නෙ චූටි උදාහරණයක්,

Base(පාදය)---> ya <---index(දර්ශකය)

මෙන්න මේ විදිහට තමයි අපි මේකක් පෙන්නන්නෙ. දැන් බලමු ‍මේකෙන් කියවෙන්නෙ මොකක් වගේ එකක් ද කියලා.

උදා: 
3³ = 3×3×3
2¹ = 2
2³ = 2×2×2

ඒ කියන්නෙ දර්ශකයට අදාල සංඛ්‍යාවට අනුරූප වාරයක් පාදය මගින් පෙන්නන අගය ගුණ වෙනවා කියන එක. අපි දැන් බලමු ඇයි මෙහෙම එකක් තියෙන්නෙ කියලා. ඇත්තෙන්ම කිවුවොත් ‍මේකෙන් කරන්නෙ ඉතාම පොඩි ඉ‍ඩක අපි ලියන්න ඕන සංඛ්‍යාවට අදාල අගය නිරූපනය කරන එක. උදාහරණයක් විදිහට 1024 කියන සංඛ්‍යාව අපිට ලියන්න පුළුවන්, 2×2×2×2×2×2×2×2×2×2 කියලා. බලන්න කොච්චර ඉඩක් ද කියලා. ඊට ලේසියි 2 කියන සංඛ්‍යාව 10 පාරක් ගුණ වෙනවා කියන එක සංකේතාත්මකව දර්ශක යොදාගෙන නිරූපනය කරන එක.

1024 = 2×2×2×2×2×2×2×2×2×2 = 210

හරි, දැන් මේක කියද්දි තව තව පොඩි කොටස් ටිකක් තියනවා බලන්න හොදට. ඒවා තමයි දර්ශක නීති කියන ජාතිය. ඊටත් කලිං තව දෙයක් තියනවා පොදු නීති ටිකක්. අපි ඕනම සංඛ්‍යාවක 0 වෙනි බලය 1 ට සමානයි කියලා පිලිගන්නවා. ඒක අර්ථදැක්වීමක්.
උදා : 
1= 1
3= 1 
1234= 1
ඒ කියන්නෙ පොදුවේ,
(any)= 1
කියන එක. ඒ වගේම තව එකක්. ඔය සෘණ දර්ශක(negative indices) තියන වෙලාවලදි අපිට ඒවා ප්‍රසාරණය කරනන් බැරි නිසා අපි කරන්නෙ ඒකෙ උඩ යට අගය ගන්න එක. ඒ කියන්නෙ බෙදීමක් විදිහට ප්‍රකාෂ කරන එක.
උදාහරණයක් විදිහට බලමුකො මේක,
5-4 =1/54
2-10 =1/210
හරි නෙ ඒ කියන්නෙ පොදුවේ,
a-b =1/ab
ඔන්න ‍ඔහොමයි එන්නෙ. දැන් අපි බලමු මොනවාද මේ නීති කියලා.

1. ගුණිතයන්

මේ ගුණිත නීතිය දාන්න පුළුවන් වෙන්නෙ එකම පාදය (same base) තියන අවස්ථා වල විතරමයි.
xa × xb = xa+b
ඒ කියන්නෙ මෙහෙමයි. එකම පාදය තියන දර්ශක තියන ප්‍රකාෂණයක් දැක්කොත් අපිට පුළුවං ඒ දර්ශක දෙක එකතු කරන්න. එකක් සෘණ දර්ශකයක් නම් ඒත් අවුලක් නෑ. ‍එතකොට ඒක අනිකෙන් අඩු වෙනවා.
උදා : 
54 × 52 = 54+2 = 56
තව චූටි එකක්. හදිස්සියේ මේ වගේ එකක් තිබ්බොත්,
54 × 5-2 කරන්න තියෙන්නෙ ඒත් එකතු කරන එකම තමයි. හැබැයි මෙතන එකතු කරන්නෙ මේ විදිහට,
54 × 5-2 = 54+(-2)
4+(-2) = 4-2 = 2 නිසා,
54 × 5-2 = 52
එන්නෙ මේ විදිහට. ඒක හරි නෙ..

2. බෙදීම්

ගුණිත නීතිය වගේම මේ නීතිය දාද්දිත් එකම පාදයේ තියන දර්ශක වලට විතරයි යොදන්න පුළුවන් වෙන්නෙ!

කලිං එක වගේමයි. එකම පාදයේ එවුවා බෙදෙනවා නම් උඩ තියන (ලවය, numerator) එකේ දර්ශකයෙන් පල්ලෙහා තියන (හරය/denominator) දර්ශකය අඩු කරනවා. 
ya ÷ yb = y(a - b)
කලිං එක තේරුනා නං ඉතිං මේක අවුලක් වෙන්න විදියක් නෑ.
උදා : 

x2/x3 = x-1 (මේකෙ වුනේ 2-3 = -1)

72 ÷ 7-5 = 77 (මේකෙ උනේ 2-(-5) = 2+5 = 7)
ඒකත් හරි නෙ ඉතිං.

3. වරහන් එක්ක වැඩ කරන හැටි

මේකෙදි දැනගන්න ඕන‍ බොහොම සරළ ව‍ගේම ගොඩක් වැදගත් සිද්ධාන්තයක් තමයි වරහන් ඇතුලෙ තියන හැම එකකටම එලියෙන් තියන ගණිත කර්මය බලපානවා කියන එක. ඒ කියන්නෙ මේ වගේ.
අපි 
2(3+1) කියලා කිවුවොත් අපි නිකන් BODMAS ක්‍රමේට හැදුවොත් දන්නවා උත්තරේ,
2(3+1) = 2*4 = 8 කියලා..
ඒත් මේ වරහන් එක්ක වැඩ කරද්දි එලියෙ තියන ගුණ කිරීම අදාල අංක දෙකටම කරන්න අපි වග බලාගන්න ඕන.
ඒ කියන්නෙ,
2(3+1) = 2*3 + 2*1 = 6 + 2 = 8
කියලා‍. හරි අපි දැන් යමු දර්ශක නීතියට,

(xa)b = xaxb   
ඒ කියන්නෙ වරහන් එක්ක තියන ඕනම දර්ශකයක් සහිත සංඛ්‍යාවක තවත් දර්ශක අගයක් තියෙද්දි ඒ දෙක ගුණිතයක් වෙන්න ඕන කියන එක. 
උදා :

(53)2 = 56

(23)3 = 29
ඒකෙත් ඉතිං කියන්න තරං දෙයක් නෑ. හැබැයි අර මම ඉස්සෙල්ලා කිවුවා වගේ වරහන් එක්ක සෙල්ලං කරද්දි පරිස්සමෙන්. හැම එකක්ව වැදගත්. ඒ කියන්නෙ මෙහෙම එකක්,

(xayb)c = xa.c yb.c

ඔය තිතක් තියන්නෙත් ගුණිතයක් කියලා ප්‍රකාෂ කරන්නම තමයි (x.y = x*y)

කොහොම හරි ඔය දෙවනි අවස්ථාවට උදාහරණයක් ගත්තොත් එන්නෙ,
(22y5)3 = 22.3 y5.32y15 = 64y15

තේරුනා කියලා විශ්වාස කරනවා. එච්චර තමයි නීති තියෙන්නෙ නම්. ඔය ටික එහෙට මෙහෙට කරකව කරකව ප්‍රශ්න ලක්ෂයක් උනත්‍ දෙන්න නම් පුළුවන්. ඇති දෙයක් නෑ සිද්ධාන්ත හරියාකාරව දන්නවා නම්. 

වැදගත් :
ඕනම සංඛ්‍යාවක් අපි නිකන් ලියනවා නම් ඒකෙත් දර්ශකයක් තියනවා. ඒ තමයි ඒ සංඛ්‍යාවෙම පළවෙනි බලය. 
 2 = 
ඒ නිසා ඕනම ඉලක්කමක් හරි සංකේතයක්(x, y, z....) හරි ලියලා තිබ්බොත් දර්ශක නීති යොදද්දි අපි ඒකෙ උඩ 1 කියන දර්ශකය තියනවා කියලයි සලකන්නෙ!

**********************************************************

සැකසුම : ජනිත සෙනෙවිරත්න


  • Digg
  • Del.icio.us
  • StumbleUpon
  • Reddit
  • RSS

5 දෙනෙක් අදහස් කිවුවා:

වකා - WAKA said...

නියමයි අයියේ !! (y)

ආගන්තුක යා said...

ස්තුතියි :)

Anonymous said...

බොහොම ස්තුතියි..

වර්ෂා said...

Yaz,
Uncle,
ආගන්තුකයා,
Creative හස්තය

මේ කරන සත් කාර්යයට බොහොම පින්.ඔයාලට කවදාවත් වරදින්නෙ නෑ සොහොයුරනේ.දිගටම මේ යහපත් වැඩේ කරගෙන යන්න.ජය වේවා!

sheshan narada said...

එලම අයියා ... ගොඩාක් ස්තුතියි... කීප් ඉට් අප් ප්ලීස්

Post a Comment