RSS

දර්ශක සහ ලෂුගනක | Indices and logarithms | සිංහල මාධ්‍යය

දර්ශක

දර්ශකයක් එහෙම නැත්තම් Index එකක් කියලා සරලව හදුන්වන්නෙ මොකද්ද කියලා අපි බලමු.
පල්ලෙහා තියෙන්නෙ චූටි උදාහරණයක්,

Base(පාදය)---> ya <---index(දර්ශකය)

මෙන්න මේ විදිහට තමයි අපි මේකක් පෙන්නන්නෙ. දැන් බලමු ‍මේකෙන් කියවෙන්නෙ මොකක් වගේ එකක් ද කියලා.

උදා: 
3³ = 3×3×3
2¹ = 2
2³ = 2×2×2

ඒ කියන්නෙ දර්ශකයට අදාල සංඛ්‍යාවට අනුරූප වාරයක් පාදය මගින් පෙන්නන අගය ගුණ වෙනවා කියන එක. අපි දැන් බලමු ඇයි මෙහෙම එකක් තියෙන්නෙ කියලා. ඇත්තෙන්ම කිවුවොත් ‍මේකෙන් කරන්නෙ ඉතාම පොඩි ඉ‍ඩක අපි ලියන්න ඕන සංඛ්‍යාවට අදාල අගය නිරූපනය කරන එක. උදාහරණයක් විදිහට 1024 කියන සංඛ්‍යාව අපිට ලියන්න පුළුවන්, 2×2×2×2×2×2×2×2×2×2 කියලා. බලන්න කොච්චර ඉඩක් ද කියලා. ඊට ලේසියි 2 කියන සංඛ්‍යාව 10 පාරක් ගුණ වෙනවා කියන එක සංකේතාත්මකව දර්ශක යොදාගෙන නිරූපනය කරන එක.

1024 = 2×2×2×2×2×2×2×2×2×2 = 210

හරි, දැන් මේක කියද්දි තව තව පොඩි කොටස් ටිකක් තියනවා බලන්න හොදට. ඒවා තමයි දර්ශක නීති කියන ජාතිය. ඊටත් කලිං තව දෙයක් තියනවා පොදු නීති ටිකක්. අපි ඕනම සංඛ්‍යාවක 0 වෙනි බලය 1 ට සමානයි කියලා පිලිගන්නවා. ඒක අර්ථදැක්වීමක්.
උදා : 
1= 1
3= 1 
1234= 1
ඒ කියන්නෙ පොදුවේ,
(any)= 1
කියන එක. ඒ වගේම තව එකක්. ඔය සෘණ දර්ශක(negative indices) තියන වෙලාවලදි අපිට ඒවා ප්‍රසාරණය කරනන් බැරි නිසා අපි කරන්නෙ ඒකෙ උඩ යට අගය ගන්න එක. ඒ කියන්නෙ බෙදීමක් විදිහට ප්‍රකාෂ කරන එක.
උදාහරණයක් විදිහට බලමුකො මේක,
5-4 =1/54
2-10 =1/210
හරි නෙ ඒ කියන්නෙ පොදුවේ,
a-b =1/ab
ඔන්න ‍ඔහොමයි එන්නෙ. දැන් අපි බලමු මොනවාද මේ නීති කියලා.

1. ගුණිතයන්

මේ ගුණිත නීතිය දාන්න පුළුවන් වෙන්නෙ එකම පාදය (same base) තියන අවස්ථා වල විතරමයි.
xa × xb = xa+b
ඒ කියන්නෙ මෙහෙමයි. එකම පාදය තියන දර්ශක තියන ප්‍රකාෂණයක් දැක්කොත් අපිට පුළුවං ඒ දර්ශක දෙක එකතු කරන්න. එකක් සෘණ දර්ශකයක් නම් ඒත් අවුලක් නෑ. ‍එතකොට ඒක අනිකෙන් අඩු වෙනවා.
උදා : 
54 × 52 = 54+2 = 56
තව චූටි එකක්. හදිස්සියේ මේ වගේ එකක් තිබ්බොත්,
54 × 5-2 කරන්න තියෙන්නෙ ඒත් එකතු කරන එකම තමයි. හැබැයි මෙතන එකතු කරන්නෙ මේ විදිහට,
54 × 5-2 = 54+(-2)
4+(-2) = 4-2 = 2 නිසා,
54 × 5-2 = 52
එන්නෙ මේ විදිහට. ඒක හරි නෙ..

2. බෙදීම්

ගුණිත නීතිය වගේම මේ නීතිය දාද්දිත් එකම පාදයේ තියන දර්ශක වලට විතරයි යොදන්න පුළුවන් වෙන්නෙ!

කලිං එක වගේමයි. එකම පාදයේ එවුවා බෙදෙනවා නම් උඩ තියන (ලවය, numerator) එකේ දර්ශකයෙන් පල්ලෙහා තියන (හරය/denominator) දර්ශකය අඩු කරනවා. 
ya ÷ yb = y(a - b)
කලිං එක තේරුනා නං ඉතිං මේක අවුලක් වෙන්න විදියක් නෑ.
උදා : 

x2/x3 = x-1 (මේකෙ වුනේ 2-3 = -1)

72 ÷ 7-5 = 77 (මේකෙ උනේ 2-(-5) = 2+5 = 7)
ඒකත් හරි නෙ ඉතිං.

3. වරහන් එක්ක වැඩ කරන හැටි

මේකෙදි දැනගන්න ඕන‍ බොහොම සරළ ව‍ගේම ගොඩක් වැදගත් සිද්ධාන්තයක් තමයි වරහන් ඇතුලෙ තියන හැම එකකටම එලියෙන් තියන ගණිත කර්මය බලපානවා කියන එක. ඒ කියන්නෙ මේ වගේ.
අපි 
2(3+1) කියලා කිවුවොත් අපි නිකන් BODMAS ක්‍රමේට හැදුවොත් දන්නවා උත්තරේ,
2(3+1) = 2*4 = 8 කියලා..
ඒත් මේ වරහන් එක්ක වැඩ කරද්දි එලියෙ තියන ගුණ කිරීම අදාල අංක දෙකටම කරන්න අපි වග බලාගන්න ඕන.
ඒ කියන්නෙ,
2(3+1) = 2*3 + 2*1 = 6 + 2 = 8
කියලා‍. හරි අපි දැන් යමු දර්ශක නීතියට,

(xa)b = xaxb   
ඒ කියන්නෙ වරහන් එක්ක තියන ඕනම දර්ශකයක් සහිත සංඛ්‍යාවක තවත් දර්ශක අගයක් තියෙද්දි ඒ දෙක ගුණිතයක් වෙන්න ඕන කියන එක. 
උදා :

(53)2 = 56

(23)3 = 29
ඒකෙත් ඉතිං කියන්න තරං දෙයක් නෑ. හැබැයි අර මම ඉස්සෙල්ලා කිවුවා වගේ වරහන් එක්ක සෙල්ලං කරද්දි පරිස්සමෙන්. හැම එකක්ව වැදගත්. ඒ කියන්නෙ මෙහෙම එකක්,

(xayb)c = xa.c yb.c

ඔය තිතක් තියන්නෙත් ගුණිතයක් කියලා ප්‍රකාෂ කරන්නම තමයි (x.y = x*y)

කොහොම හරි ඔය දෙවනි අවස්ථාවට උදාහරණයක් ගත්තොත් එන්නෙ,
(22y5)3 = 22.3 y5.32y15 = 64y15

තේරුනා කියලා විශ්වාස කරනවා. එච්චර තමයි නීති තියෙන්නෙ නම්. ඔය ටික එහෙට මෙහෙට කරකව කරකව ප්‍රශ්න ලක්ෂයක් උනත්‍ දෙන්න නම් පුළුවන්. ඇති දෙයක් නෑ සිද්ධාන්ත හරියාකාරව දන්නවා නම්. 

වැදගත් :
ඕනම සංඛ්‍යාවක් අපි නිකන් ලියනවා නම් ඒකෙත් දර්ශකයක් තියනවා. ඒ තමයි ඒ සංඛ්‍යාවෙම පළවෙනි බලය. 
 2 = 
ඒ නිසා ඕනම ඉලක්කමක් හරි සංකේතයක්(x, y, z....) හරි ලියලා තිබ්බොත් දර්ශක නීති යොදද්දි අපි ඒකෙ උඩ 1 කියන දර්ශකය තියනවා කියලයි සලකන්නෙ!

**********************************************************

සැකසුම : ජනිත සෙනෙවිරත්න


  • Digg
  • Del.icio.us
  • StumbleUpon
  • Reddit
  • RSS

ගණිතය 4 ත්‍රිකෝණමිතිය | සිංහල මාධ්‍යය

එදා අපි නැවැත්තුවෙ බොහොම හොද තැනකින්. අද අපිට හොද හුස්මක් අරන් වැඩ පටන් ගන්න පුළුවන්. හොදයි. දැන් තමයි ත්‍රිකෝණමිතිය පටන්ගන්නෙ. ඊට කලින් සරළ දේවල් ටිකක් කියලා ඉන්නම්. මට හොදටම විස්වාසයි sin,cos,tan ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාත ගැන දැන් හොද අවබෝධයක් ඇති කියලා‍. එදා අර මං දුන්නා නෙ ගණන් ටිකක්. පළවෙනි ගණන් නං අවුලක් නෑ කියලා හිතනවා. අන්තිම ගාණ ඉස්සෙල්ලාම බලමු. 

[sin(A)]2 + [cos(A)]2

හරි, මං කිවුවා වගේ ඉස්සෙල්ලාම සෘජුකෝණී ත්‍රිකෝණයක් ගහගමු. පස්සෙ කරන්නෙ මොකද්ද කියලා හිතමු.

මේකෙ අර කහ පාටින් රවුම් කරලා තියන කෑල්ලට මේ ප්‍රතිඵලේ එන්නෙ පයිතගරස් ප්‍රමේයයෙන්. මතකයි නෙ. හරි. ඔන්න දැන් අපි ගානක් බලමු. ටිකක් ඔළුව කචල් වෙන එකක්.

ABC BCD AED EDF
ඔන්න ඕකයි ගාන. මේකෙ DF දිග හොයන්නයි ඕන. බැලුව ගමන් හිතෙයි මේ ත්‍රිකෝණමිතිය ද කියලා. ඔවු නෙ මේ ත්‍රිකෝණමිතිය. අපි ඉස්සෙල්ලාම බලමු මේ දීලා තියන ත්‍රිකෝණ වල ලක්ෂණ. හැම ත්‍රිකෝණයක්ම සෘජුකෝණී. ඒ නිසා අපි පිළිවෙලට වැඩේ කරන් යමු. අපේ ඔළුවෙ තියෙන්න ඕන මොකද්ද අ‍පේ අරමුණ කියන එක. ඒ තමයි DF දිග හොයට එක. DF දිග හොයන්න අපි DE දැනගන්න ඕන. DE දැනගන්න අපි AC සහ CD දැනගන්න ඕන. CD දැනගන්න අපි BC දැනගන්න ඕන. හරි නෙ. අපි ආපස්සට එකින් එක හොයාගෙන යමු.

ABC ත්‍රිකෝණයෙන් අපි හොයන වැඩේ පටන්ගමු.
දැන් අපි BC දන්න නිසා BCD ත්‍රිකෝණයෙන් CD හොයන්න පුළුවන්.

AD = AC + CD නෙ..
AD = 3/2 + 1/2 
AD =2

ඔන්න දැන් වැඩේ ලේසියි, මම පිළිවෙලින් AED සහ EDF ත්‍රිකෝණ වලට මෙහෙම ලියනවා.


දැක්කා නේද? කොච්චර ලේසිද කියලා.. අපි ක්‍රමානුකූලව යමක් කරගෙන ගියොත් හරිම ලේසියෙන් උත්තරේ ගන්න පුළුවන්.  මෙහෙම හරියන්නෑ.. කොළයක් පෑනක් අරන් මේක ඇදන් තනියෙන් උත්සාහා කරන්න. එතකොට තමා හොදට තේරෙන්නෙ. මම හිතන්නෙ අදට මේ ඇති. හෝම් වර්ක් එකක් විදිහට තව ගානක් දෙන්නම් කො.


උත්තර https://www.facebook.com/OlShortNotes පිටුවට එවන්න. අපි හරි වැරදි කතා කරමු.

  • Digg
  • Del.icio.us
  • StumbleUpon
  • Reddit
  • RSS

Mathematics | Trigonometry 3 | English Medium



Through today's lesson we are going to study a little bit more deeper about trigonometry more than the last two lessons. Lets see an easier way to remember the main nine trigonometric ratios we discussed in the last article.
All of you now know that the tan ratios of an angle is equal to the ratio between, the sin ratio of that angle and the cos ratio of it. Which means if we know the sin and the cos values of those three main angles we can derive tan value using them.



If you can remember sin30, sin45 and sin60 then inverse the values of them to get cos30, cos45 and cos60. Then you can derive tan30, tan45 and tan 60 from them.

Lets do some example sums to get a better understanding about the type of questions you are going to get for the O/L examination.

Find the values of sin30.sin60 + cos30.cos60.


sin30.sin60 + cos30.c0s60 = (1/2)(√3/2) + (√3/2)(1/2)
= √3/2


I'll leave this sums to try them yourselves.

1. sin60.sin30 + cos30.cos60
2. sin30cos60 + cos30sin60
3. (sin30)^2 + (cos30)^2
4. (cos30 – sin30)(cos30+sin30)
5. Prove that (tan30 + tan45)/(1-tan30.tan45) = 2 +√3


When I was doing my O/Ls I always had a nagging question about trigonometry, why do we learn trigonometry? To get a clear answer to that question you should learn trigonometry furthermore but for now I will explain it with a simple example.



Imagine there is a somewhat tall rock and we want to measure its height. Here is a simple way of doing it. Assume that the earth is plane considering to the height of the rock. Take a rope and measure its length. Tie a rope to the point where you want to measure the height (point A). Tie the other end to the ground and keep in mind to keep the rope straight. Then measure the angle of the rope with the ground as shown in the figure below. Now we know the AB length we know the required angle so the height of the rock = AB length X sin(measured angle) 




Written by Uncle 

  • Digg
  • Del.icio.us
  • StumbleUpon
  • Reddit
  • RSS

Chemistry 2 | English Medium

                             Structure of the atom.

Hey there! Hope you guys are doing fine! 
I'm back hopefully with another lesson and this time we are going to take a look at the building block of chemistry.     The ATOM! 
                                                
The atom as you obviously know is a very small nano scale particle. This very small atoms consists of even smaller sub atomic particles.
3 such are taught to you in your level.
  1. Proton
  2. Electron
  3. Neutron



And that's a summary of what you will need to know about the sub atomic particles.  
Now we have the electrons the protons and the neutron. How do the fit in together to form the atom? Trust me scientists are still looking for the exact structure but for the sake of studying, based on the experiments a few people have made some models of the atom.

Plum-pudding model  
Sounds tasty but kind of outdated now. This was suggested by J.J Thompson. He said like in pudding the positive charge is a huge sphere and the electrons are embedded in it like plums.(they haven't found out about the neutron when he was putting out this model) 

Planetary model 
This was Rutherford's idea and it's pretty much what people today are believing in. He said that the protons and neutrons were concentrated to the middle in a nucleus and electrons are moving around it. Neil Bohr added something more to it saying that electrons have specified paths or "orbits" where they tend to move along. Hence the atom was kind of like the Sun and the planets in our solar system.

Rutherford's model 


Bohr's model 


And that is the end of another lesson! 
P.S. I've left out the experiments you are supposed to know in the discovery of sub atomic particles if not this would be a long short note but if you feel that you want me to explain them please feel free to drop a comment and let me know! Bye! :) 








  • Digg
  • Del.icio.us
  • StumbleUpon
  • Reddit
  • RSS

ගණිතය 3 ත්‍රිකෝණමිතිය | සිංහල මාධ්‍ය

ඔන්න හරි.. එදා ප්‍රධාන ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාත ටික බැලුවා නෙ. නැද්ද ළමයි. ඕක ඉතිං කරුමෙට කටපාඩං කොරගන්න වෙනවා. ඉතිං අපි බලමු ලේසි විදිහක් ඕක කරන්න. ඉස්සෙල්ලාම කියන්න තියෙන්නෙ, ඔය අපි පාඩං කරගන්න ඕන ඒවායෙන් sin,cos කියන ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාත විතරයි. tan කියන්නෙ sin / cos කියලා කී පාරක් නං මං කිවුවාද නේද?

ඔය අපි පාඩං කරගන්න ඕන ඕකෙන් එකක් දෙකක්. ඉතුරුවා ඉබේම එනවා. ඔන්න සරළයි, අපි බලමු.




දැක්කානෙ.. ඔය තියෙන්නෙ. sin30 = 1/2 , cos60 = 1/2 ඒ වගේම තමා දෙපැත්තෙ තියන අනිත් දෙන්නාත්. sin45 යි cos45 යි සමානයි නෙ. ඒ දෙකම එකම අගේ. ඔය sin තීරුව, cos තී‍රුවෙන් බෙදුවාම යට තියන එක එනවා නෙ නේද?

හරි අපි පොඩ්ඩක් වැඩේ තේරෙන්නත් එක්ක ගාණක් බලමු.

උදා : sin(30) x sin(60) + cos (30) x cos (60) හි අගය සොයන්න.











ඔන්න ඉතිං මං හිතනවා තේරුනා කියලා. නිකං අගයන් ආදේශ කරලා සුළු කරන්න තියෙන්නෙ.
දැං මම ගණව් ටිකක් දෙනවා. සුළු කරන්න ඕන. ඒක හරියට කරලා අපේ ෆේස්බුක් පේජ් එකට මැසේජ් එකක් දාන්නකො. (https://www.facebook.com/OlShortNotes)

1. sin60*sin30 + cos60*cos30
2. sin45*cos45 + tan45*tan60
3. (sin30)+ (cos30)2
4. tan45*tan60+tan45*tan30
5. [sin(A)]2 + [cos(A)]2

අන්තිම එක ටිකක් අවුල් වගේ නේද? ඒකට පොඩි සෘජුකෝණී ත්‍රිකෝණයක් ගහගෙන A කියලා කෝණයක් දාගෙන පොඩි ගේමක් දෙන්නකො බලන්න.

දැන් ඉතින් ප්‍රශ්නයක් නෙ. ඕවා කරන්න මොකටද ත්‍රිකෝණමිතිය. නැද්ද මං අහන්නෙ? නෑ නෑ ඒකට නෙමෙයි ත්‍රිකෝණමිතිය ඕන. මොකක් හරි කෝණයක් දන්නවා නම් එක පාදයක් දන්නවා නම්, අනිත් පාද ගැන අපිට කියන්න පුළුවන් සෘජුකෝණී ත්‍රිකෝණ වල.

අපි සරළ අවස්ථාවක් අරන් බලමු. 



බලමු ඒකෙත් හැටි. නැද්ද? 

පෝස්ට් එක දිග්ගැස්සෙයි වගේ තව කියන්න ගියොත්. අපි ත්‍රිකෝණමිතියෙ වැඩ පටංගත්තෙ දැං තමයි. මේ ටික හොදට කරන් යන්න ඕන. මොකද ගණං එන්නෙ මේවයෙන් නෙ. 

උත්තර අපේ පිටුවට එවන්න. ඕ ලෙවල් කරන අය ඉන්නවා නම් ඒ අයට මේ පිටුවට එකතු වෙන්න කියලා කිවුවට වරදක් නෑ..

https://www.facebook.com/OlShortNotes

  • Digg
  • Del.icio.us
  • StumbleUpon
  • Reddit
  • RSS

Mathematics | Trigonometry 2 | English Medium

From the previous lesson we learnt about the three main trigonometrical ratios. Lets see how we can find the values of trigonometrical ratios of some commonly used angles.



The triangle above is an equlateral triangle which means all three sides are equal in length. So AB = AC, hence ABC angle is equal to ACB angle. AC = CB, hence CAB angle is equal to CBA angle thus all three angles are equal. Let the value of an angle be x, 

then x + x + x = 180°

So the ABC angle is 60 degrees whilst the AN perpendicular drawn to BC from A eually divides the BAC angle so that, BAN angle is 30 degrees.
Let AB = BC = CA = 2a then,
BN = a and
AN =  3a , according to the pythagoras theorem (apply pythagoras theorem to the triangle ABN) .

Now from BAN triangle  we can see than sin BAN is equal to the ratio, BN/BA.

Thus sin30 °  = a/2a = 1/2
Likewise we can develop the sine, cosine and tan values of 30° and 60°.
Now lets consider a right angled isoceles triangle.

Let the two equal sides be of length a then according to the pythagoras theorem the hypotaneuse of the triangle will be square root(2)a.

So easily we can see that 
sin45°  = cos 45° = 1/
and 
tan 45 °  = 1.


The table below will sum up all the trignometrical ratios we have considered above and you are expected to memorize them for the O/L exam.



From above table we can roughly deduce that from 0 - 90 °  the sine and tangent values of an angle increases with the angle while the cosine value of an angle decreases with the angle.
Moreover,

sin 0 = 0   sin 90 °  = 1 

cos 0 = 1  cos 90 ° = 0
tan 0 = 0  tan 90 ° = infinity

therefor for any given angle x < 90(degrees) ,    
0 < sinx < 1
0 < cosx < 1
tanx > 0



Written by : Uncle

  • Digg
  • Del.icio.us
  • StumbleUpon
  • Reddit
  • RSS

Chemistry 1 | English Medium


Hi everyone ! Now my subject to write about is Chemistry. Trust me no matter who tells you it's a hard subject it isn't ,not when you have done your part of work right and studied well. Chemistry is really easy once you have got hold of it and specially O/L Chemistry is just at the very basic level . When you move up the ladder to further studies you will see how big the world of Chemistry is. But without this O/L basic knowledge Chemistry will be challenging! I'm not going to be writing down theory notes for pages. Things will be made as simple as they could be made!



And NOW TO WORK !!!


Now your first question should be " What is Chemistry? " but i know no one asks that !  Even I didn't .
Chemistry is the study what matter is made up of , what the structure of matter is , how matter reacts, and what the properties of matter are. I know it sounds like insane !! So simply CHEMISTRY IS THE STUDY OF MATTER AND ITS BEHAVIOR .

Our first lesson will be the classification of matter . Matter can be classified in various ways but for your level the relevant classification is as follows .




Pure substances - Matter made up of  one kind of substance    (water , hydrogen , helium)

Pure substances are further classified to 2 main groups : 

1. Elements - Elementary substances or substances which can not be divided in to simpler substances . Elements are made up of one kind of atom. ( Hydrogen , Silver, Gold )

Elements are further grouped under four headings.

  • Metals - Silver,Gold,Iron,Sodium 
  • Non metals - Oxygen,Nitrogen,Hydrogen
  • Metalloids - Arsenic,Germanium,Antimony 
  • Noble gases - Helium,Neon,Argon 


2. Compounds - Substances that can be divided in to elements and that are made up of two or more types of atoms .(Ammonia, Water, Ozone) 

Impure substances - Matter made up of a mixture of various other substances (Salt solution , Air , Soil)
 They are classified as follows 

1. Homogeneous compounds - A compound where the composition is uniform through out a sample (Salt solution,Blood) 

2. Heterogeneous compounds - A compound where the composition  differs at different places in a sample (Soil,Wood) 

I've given a few examples for each topic but try finding more such examples through self study ! Our next lesson will be on the story of the "atom" . 
Till then study well ! Take care ! Bye ! :) 

  • Digg
  • Del.icio.us
  • StumbleUpon
  • Reddit
  • RSS

Mathematics | Trigonometry 1 | English Medium


Trigonometry is a branch of pure mathematics which goes long way back in history and which is also utilized in complex mathematical concepts that incluede geometry.

For the O/L mathematics syllabus we only have the basics of trigonometry.

First of all lets identify the 3 main trigonometrical ratios. They are,
1.) sine
2.) cosine
3.) tangent

For the O/L exam we only have to learn about these ratios about a right angled triangle.



In the diagram show above the angle C is denoted by theta.
In the O/L syllabus the definitions of trigonometrical ratios are simplified so that the students could get a better understanding about them.
For the angle theta the trigonometrical ratios can be defined as follows,



Generally we can identify that sin ratio of an angle is the ratio between the length of the oppsite side and  the hypotneuse relative to the angle. The cosine ratio of an angle is the ratio between the length of adjacent side and the hypotaneuse relative to the angle. The tan ration of an angle is the ratio between the length of opposite side and the adjacent side relative to the angle.


We can see that, 

therefore,



Written by : Uncle


  • Digg
  • Del.icio.us
  • StumbleUpon
  • Reddit
  • RSS

ගණිතය 2 ත්‍රිකෝණමිතිය | සිංහල මාධ්‍ය



පළවෙනි පාඩමෙන් ඉගෙනගත්තා නෙ sin, cos, tan කියන අනුපාත ගැන. අද අපි ඉස්සෙල්ලාම බලමු වැදගත් ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාත කීපයක අගයන් සමපාද ත්‍රිකෝණයක් ඇසුරෙන් ලබාගන්න හැටි ගැන. මං හිතන්නෙ විභාගෙදි මේවා දෙන්නෙ නෑ. ඒ නිසා මේවා පාඩං කරගෙන තියාගන්න ඕන මයෙ හිතේ.


මම මේ සදහා යොදාගන්නෙ පැත්තක දිග 2a වන සමපාද ත්‍රිකෝණයක්. මේකෙ මම BC පාදයට ලම්භක වෙන්න AN නිර්මාණය කරගන්නවා. දැන් අපි බලමු මේ ත්‍රිකෝණයේ තියන ලක්ෂණ මොනවාද කියලා.

1. සමපාද ත්‍රිකෝණයක පාද ඔක්කොම දිගින් සමානයි. ඒ වගේම ඇතුලෙ කෝණත් සමානයි. අර මම පළවෙනි පෝස්ට් එකේ කිවුවා නේ ත්‍රිකෝණයක කෝණ වල එකතුව අංශක 180 යි කියලා. මේ ත්‍රිකෝණෙ කෝණ සමානයි නෙ. අපි එක කෝණයක් "x" කියලා ගමු. ත්‍රිකෝණෙට තියෙන්නෙ කෝණ 3ක් නිසා,
x+x+x  = 180°
3x        =180°
x          = 60°

2. AN නිර්මාණය කරලා තියන හැටියට BN = NC වෙනවා. ඒ වගේම BAN කෝණය, NAC කෝණයට සමාන වෙනවා. ඒ වගේම තමයි මේකෙ BAN කෝණයෙයි,  NAC කෝණයෙයි එකතුව 60° නිසා මේ එක කෝණයක් 30° කි වෙනවා.

3. අපි කවුරුත් දන්නවා නෙ පයිතගරස් ප්‍රමේයය. ABN ත්‍රිකෝණයට අපි පයිතගරස් ප්‍රමේය දැම්මොත්,
BN2 + NA2 = AN2
a2 + NA2 = (2a)2
NA2 = 4a2 - a2
NA2 = 3a2
NA = √3a

දැන් හරි. අපිට දැන් විශේෂ sin, cos, tan අනුපාත ටිකක් ගන්න පුළුවන්. ඒකට පාව්චිචි කරන්න යන්නෙ ABN ත්‍රිකෝණය. මම ඒක විතරක් ගන්නම් කො,


දැන් අපි බලමු මේ එක එක කෝණයට සාපේක්ෂව මොනවාද කෝණ කියලා. 





දැන් ඉතින් අපි මේ එක එක ඒවාට අනුරූපව එන අගයන් පොඩ්ඩක් බලමු. මම දෙකක් තුනක් දාලා අන්තිමට චාට් එකක් දානවා හරි ද.

ඉස්සෙලාම බලමු අංශක 30 ත් එක්ක.


මේ වගේම අනිත් ටිකත් කොළයක් අරන් කරන්නකො. දැන් අපි බලමු 45° එක්ක කොහොමද මේ අගයන් ලැබෙන්නෙ කියලා. මේකට අපිට සෘජුකෝණී ත්‍රිකෝණයක් ඕන පාද දෙකක් දිගින් සමාන.
මෙන්න මේකෙ AC = BC වෙනවා. ඒවා අපි කියලා ගත්තොත්, මේක සෘජුකෝණී ත්‍රිකෝණයක් නිසා,
ABC ත්‍රිකෝණයට පයිතගරස් ප්‍රමේයයෙන්,
AC+ BC2 = AB2
a2 +  a = AB2
AB = √2a


මේකටත් අපිට ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාත දාන්න පුළුවන් නෙ, (මම කෙටියෙන් ලියන්නම්)

මෙන්න මේ වගේ ඔය ඔක්කොම සාධනය කරන්න. මේවා තනියෙම කොළේක ඇදලා හදන්න බලන්න පල්ලෙහා ඒවාද ආවෙ කියලා,


ගනං දෙන්නං ඊලග එකේ ඉදන්. මේ ටික කරලා බලලා පුරුදු වෙන්න තනියෙන්. නිකන් බැලුවාට නම් වැඩක් නෑ‍.

  • Digg
  • Del.icio.us
  • StumbleUpon
  • Reddit
  • RSS

ගණිතය 1 ත්‍රිකෝණමිතිය | සිංහල මාධ්‍යය


ගණිතය පාඩමේ ඉස්සෙල්ලාම තියෙන්නෙ නම් පරිමිතිය, වර්ගඵලය එහෙම හොයන කොටස්. ඒත් ඉතින් ඒවා ටිකක් සාමාන්‍ය දේවල් කියලා හිතුන නිසා මම හිතුවා ත්‍රිකෝණමිතිය පාඩම තෝරගන්න ඕන කියලා. ගොඩක් අයට සාමාන්‍යපෙළ පන්තියෙදි ත්‍රිකෝණමිතිය වහකදුරු වගේ. ඒකට මූලිකවම හේතු වෙලා තියෙන්නෙ හරියට මූලික දේවල් ඔළුවට දාගන්නෙ නැති එක. ඔන්න එහෙනම් වැඩිය කියවන්නෙ නැතුව පාඩම පටන්ගන්නම්.

(මම මේ බ්ලොගයේ ලියන්නෙ විශයනිර්දේශයේ තියන කරුණු මම දකින තේරුම්ගන්න, කරන්න පුළුවන් ආකාරයෙන් මිසක් විශයනිර්දේශය කොපි කිරීමක් නම් නෙමෙයි)

ත්‍රිකෝණයක දැනගතයුතු ලක්ෂණ


ත්‍රිකෝණයක ඔය ඇතුලෙ තියන කෝණ පේනවා නෙ A,B,C කියලා පෙන්නලා තියෙන්නෙ. අන්න ඒවා ගැන දැනගන්න දෙයක් තියනවා. ඒ තමයි,


ත්‍රිකෝණයක අභ්‍යන්තර කෝණ වල එකතුව අංශක 180 ක් කියන එක.
ගණිතය බාසාවෙන් කිවුවොත්,
A+B+C=180°

ඒක හරි නෙ, අපි දැන් බලමු මොකද්ද මේ ත්‍රිකෝණමිතිය කියන්නෙ කියලා.

ත්‍රිකෝණමිතිය කියලා ඉතිං කියන්නෙ ත්‍රිකෝණ වල කෝණවලයි පාදවලයි සම්බන්ධතාවයක් නෙ. මේ සම්බන්ධ ගොඩනගාගන්න අපි පාවිච්චි කරන්නෙ සෘජුකෝණී ත්‍රිකෝණයක්. හරියට මේ පල්ලෙහා තියන එක වගේ. මට ඉතිං කොටනන් ලේසියට මං ඒක අංකනය කරගන්නම්. ඔය පේන්න තියන α කෝණෙට සාපේක්ෂව දක්වලා තියන අනුරූප පාද මම මේ කියන නම් වලින් හදුන්වන්නෙ

  • සම්මුඛ පාදය (opposite side) = o
  • බද්ද පාදය (adjacent side) = a
  • කරණය (hypotaneuse) = h

හැබැයි තව එකක් හොදේ, අපි මෙහෙම ඕක නම් කරාට මේක මම දීපු α කෝණෙට සාපේක්ෂව. ඒ කියන්නෙ α කෝණෙට සම්බන්ධ නැති මුහුණලා තියන එක තමයි සම්මුඛ පාදෙ වෙන්නෙ. ඔය ත්‍රිකෝණ මොන අතකට හරවලා තිබ්බත් ඒක ඒ විදිහමයි. හැබැයි මේක වලංගු වෙන්නෙ මේ ජාතියෙ, ඒ කියන්නෙ සෘජුකෝණී ත්‍රිකෝණ වලට විතරයි.

හරි, දැන් අපි බලමු මේකෙන් ගන්න පුළුවන් සරළ සම්බන්ධ ටිකක්, ඇත්තම කිවුවොත් අනුපාත ටිකක් අංකනය කරන විදිහ,
මේවා ආවෙ කොහෙන්ද, මොන රටෙන්ද මොන ලෝකෙන්ද කියලා නම් මං දන්නෙ නෑ. ඒත් මේවා මෙහෙම තමා ඒ කාලෙ ඉදන්ම අංකනය කරගෙන ඉන්නෙ. අපි කාගෙ හරි නමක් ඇහුවාම ඒ කෙනා කියනවා මගේ නම මෙන්න මේකයි කියලා. අපි ඉතින් අහන්න යන්නෙ නෑ නෙ, "ආ කොහොමද ඒක උඹේ නම උනේ?" කියලා. ඒ වගේ මේවාටත් නම් දීලා, අපි ඒ නමින්ම අඩගහමු. 


ඔන්න අපි දැන් වැදගත් අනුපාත කීපයක් අරගෙන තියෙන්නෙ. පාඩම ඉවර කරන්නත් හිතෙනවා... ම්ම් එක්කො ‍එක පොඩි ඒත් වැදගත් එකක් අන්තිමට කියන්නම් කො. (මම මේ සංකේත අරන් තියෙන්නෙ ලේසියටනෙ. ඒකෙන්ම වැඩේ දෙන්නම්. ටයිප් කරන්න කම්මැලී අප්පා..)
මේකෙ sinα කියන පදය cosαගෙන් බෙදලා බලමු.

දැන් බලන්න අර උඩින් තියන සමීකරණ දිහා. මේ o/a කියන්නෙ tanα නේද? ඔන්න එහෙනම් අළුත් සම්බන්ධයක් එනවා,

ලොකු වැඩ ඊලග පාඩමෙන්. හැමෝටම සුභ දවසක්.

  • Digg
  • Del.icio.us
  • StumbleUpon
  • Reddit
  • RSS